Bir sayı sistemi tanımlayalım. Bu sayı sisteminde reel sayıların (R) var olan aksiyomlarını ve kurallarını sağlasın. Aksiyomlara karşıt bir işlem yapmamaya çalışacağız ancak daha geniş bir sistem tanımlayabiliriz.

Öyle bir x sayısı olsun ki :

X>0 , X<1

X : sonsuz küçük sayı

lim X → 0 X ≠ 0 (biraz açıklamaya çalışırsak bir x sayısı 0 sayısına yaklaşırken 0 a hiçbir zaman eşit olmasın)

madde iii’ ün anlaşılması için X: çok çok küçük bir sayı olmalı ama sıfıra ulaşmamalı.

Buraya kadar hayal edebileceğiniz kadar çok çok küçük bir sayı tanımlamaya çalıştık ve bu sayıya “x” dedik.

“X” sayısının gerçek hayattaki karşılığını düşünelim. Çok küçük değerde bir para birimi var mı ?

10 kuruş ya da 5 kuruş gibi paralardan neden daha küçüğü yok ? Aslında daha küçük, az değerde para basmak mümkün ancak buna gerek var mı pek emin değilim. Dünya genelinde çok az değerde olan ürünler genel olarak paket halinde satılır ve mevcut para sistemindeki küçük paralara denk getirilir. Bundan dolayı ihtiyaç duyulmuyor. Düşündüğümüz bu sayıyı para, boyut ya da miktar belirtilen durumlara denk getirip gerçek hayattaki karşılığına farklı yorumlar getirebiliriz.

Bu “X” sayısının matematik dünyasında çok büyük bir öneme sahip olan “0” sayısının en azından küçük bir (çok çok küçük) bir kısmını alması gerektiğini düşünüyorum. Yaklaşımsal hesaplamalarda yani limit işleminin bulunduğu yerlerde daha doğru sonuçlar elde edileceğini sezgisel olarak varsayıyorum.

Şimdi ise bir problem ile az da olsa daha matematiksel bir nokta koymaya çalışacağız.

Aşağıda verilecek olan tarzdaki sorulara Optimizasyon Problemleri denmektedir. Bu problemler belirli bir soruda en büyük değeri nasıl alır ya da en küçük değeri hangi şartlar altında alır gibi sorulara cevap aramaktadır. Gerçek hayatta pek çok alanda yer edinmiş bir problem çeşididir.

Soru : Çevresinin uzunluğu 800 birim olan dikdörtgenlerden alanı en büyük olan dikdörtgeni bulunuz. Bu sorunun çözümü verilecektir ancak asıl işimize yarayacak kısım çözümden sonraki bölümdür.

f(x,y) = x.y , x>0 , y>0 2(x+y) = 800 ⇔ x+y = 400 g(x,y) : = x+y-400 , g(x,y) = 0 ∇f(x,y) = λ.∇g(x,y) λ=x=y olur. X=Y=200 f(200,200) = 40.000

çözümden genel olarak bahsetmek gerekirse; alan fonksiyonu belirlenip sınırları gösterilir yani kenar uzunluklar negatif sayı olamayacağı için x ve y sıfırdan büyük alınır. Gerekli işlemler yapıldıktan sonra “Lagrange çarpanlar formülü” uygulanır ve gerçekten de bu koşullar altında en büyük dikdörtgenin alanı 40.000 br2 olur.

Yukarda verilen soruda belirli şartlar altında en büyük dikdörtgeni bulabildik. Peki ya soru tam tersine en küçük dikdörtgeni sorsaydı ne olurdu ?

İşte burada biraz düşünürsek, mesela dikdörtgenin kenarlarıyla istediğimiz gibi oynarsak 1br2 alana sahip bir dikdörtgen bulabilirdik. Peki ya daha küçüğü yok mu ? ELbette var ve onun da daha küçüğü var bu böyle uzayıp giderken tam olarak burada sonsuz küçük bir sayıyı daha doğrusu bu sayının mantığını yakalıyoruz. Eğer öyle bir sayı bulabilseydik en küçük dikdörtgenimizi bulmak saniyeler sürecekti. O zaman bu sorunun cevabı ne ?

Aslında bu sorunun cevabı bazen “sıfır” bazen de “yoktur” cevaplarıdır. Bir sorunun nasıl iki cevabı olabilir ki… gelin biraz daha farklı yönden birkaç tanım ile incelemeye devam edelim.

Matematiksel olarak infimum diye bir tanım yapacağız. İnfimum : üst sınırların en küçüğüdür diye tanımlanır. Örneğin ; 4 sayısından küçük reel sayıları tanımlarsak 4,1 bir üst sınırdır aynı zamanda 4,01 , 4,0001 de birer üst sınırdır ancak bütün bu üst sınırların en küçüğü 4 sayısıdır. Yani bu örnekte infimum = 4 olur. Bu olguyu tanımladıktan sonra soruyu iki farklı şekilde sorarak tekrar cevaplayacağız. Eğer soru şu şekilde olsaydı ; En küçük alana sahip dikdörtgenin infimum’u nedir ?

Şeklinde sorulsaydı rahatlıkla “0” cevabını verebilirdik. Demin düşündüğümüzde aklımızda bir sürü küçük dikdörtgen yaratabildik ancak hep daha küçüğünü de düşünebildik. Soruda infimum sorulduğu için “üst sınırların en küçüğü” yani bu dikdörtgenin alabildiği o sonsuz küçüklükteki değerlerin en küçüğü sıfır olacaktır.

Son olarak bu soruyu değiştirmeden cevaplarsak birinci cevabımızdan sonra gönül rahatlığıyla “yoktur” cevabını verebiliriz. Eğer ki böyle bir dikdörtgeni araştırırken ileri düzeyde matematikten yararlanmadan ve aynı zamanda soru üzerinde ufak değişiklikler yapmadan cevaplamaya kalkışırsak, cevabımız gerçekten de “yoktur” olur.