Sonsuzluk Nedir?

Sonsuzluk, hepimizin bildiği ama tam olarak tanımlayamadığımız bir kavramdır. Sonsuzluk, sınırı olmayan, başlangıcı ve sonu olmayan, bitmeyen bir şeydir. Sonsuzluk, matematikte, felsefede, dinde ve bilimde farklı anlamlar taşır. Bu yazıda, sonsuzluğun ne olduğunu ve nasıl anlayabileceğimizi inceleyeceğiz.

Matematikte Sonsuzluk

Matematikte sonsuzluk, sayılar, kümeler, fonksiyonlar, limitler gibi kavramlarla ilişkilidir. Sonsuz sayıda sayı vardır: 1, 2, 3,… Bunların hepsini saymak mümkün değildir. Aynı şekilde sonsuz sayıda küme vardır: {1}, {1, 2}, {1, 2, 3},… Bunların hepsini sıralamak mümkün değildir. Bir kümenin eleman sayısı sonsuz ise o kümeye sonsuz küme denir.

Matematikte sonsuzluğu sembolize etmek için Yunanca harfi olan omega (Ω) kullanılır. Ω sayısı sonsuzdan daha büyük bir sayı değildir. Sadece sonsuzluğu ifade eder. Örneğin:

• Ω + 1 = Ω
• Ω - 1 = Ω
• Ω x 2 = Ω
• Ω / 2 = Ω

Matematikte sonsuzluk tek bir tür değildir. Farklı türleri vardır. Örneğin:

• Sayılabilir sonsuzluk: Sayılabilir sonsuzluk, doğal sayılar gibi sınırlı bir kurala göre oluşturulan ve her elemanına bir doğal sayı atayabileceğimiz sonsuz kümelere denir. Örneğin: {0, 1, 2,…}, {2, 4, 6,…}, {a, b, c,…}
• Sayılamaz sonsuzluk: Sayılamaz sonsuzluk, gerçek sayılar gibi her elemanına bir doğal sayı atayamayacağımız sonsuz kümelere denir. Örneğin: [0, 1], (0, 1), {π, e, √2,…}
• Transfinite sonsuzluk: Transfinite sonsuzluk, sayılabilir ve sayılamaz sonsuzluktan daha büyük olan ve kardinal sayılarla ifade edilen sonsuz kümelere denir. Örneğin: ℵ0 (sayılabilir sonsuzluğun kardinal sayısı), ℵ1 (sayılamaz sonsuzluğun kardinal sayısı), ℵ2,…

Matematikteki bu farklı türlerdeki sonsuzluklar bize sezgisel olarak çelişkili gelebilir. Örneğin:

• Bir doğru parçasının uzunluğu ne kadar küçük bölünürse bölünsün hep aynı uzunluktadır.
• Bir doğru parçasını ikiye böldüğümüzde iki tane yarım doğru parçası elde ederiz.
• Bir yarım doğru parçasını ikiye böldüğümüzde iki tane çeyrek doğru parçası elde ederiz.
• Bu bölmeyi devam ettirdiğimizde her seferinde iki kat daha fazla parça elde ederiz. Bu bölmeyi sonsuza kadar devam ettirebilir miyiz? Eğer devam ettirebilirsek, sonunda doğru parçasının uzunluğu sıfıra mı inecektir? Eğer inmeyecekse, sonsuz sayıda parçanın toplam uzunluğu nasıl olur da baştaki doğru parçasının uzunluğuna eşit olur?

Bu sorular bize sonsuzlukla ilgili bazı paradoksları gösterir. Paradoks, mantıksal olarak doğru gibi görünen ama sezgisel olarak çelişkili olan bir durumdur. Sonsuzlukla ilgili pek çok paradoks vardır. Örneğin:

• Galileo paradoksu: Doğal sayılar (1, 2, 3,…) ile çift sayılar (2, 4, 6,…) arasında bir eşleme kurabiliriz. Bu eşleme bize her doğal sayının bir çift sayıya karşılık geldiğini gösterir. Bu da bize doğal sayılar ile çift sayılar arasında aynı sayıda eleman olduğunu söyler. Ama bu sezgisel olarak doğru değildir. Çünkü çift sayılar doğal sayıların sadece bir alt kümesidir. Nasıl olur da bir küme ile alt kümesi arasında aynı sayıda eleman olabilir?
• Hilbert’in sonsuz otel paradoksu: Sonsuz sayıda odası olan bir otel düşünelim. Bu otelde her odada bir müşteri olsun. Yani otel tamamen dolu olsun. Bu durumda yeni gelen bir müşteriye nasıl oda verebiliriz? Mantıklı olarak verebileceğimiz oda yoktur. Ama sonsuzlukta işler farklıdır. Yapmamız gereken şey şudur: Her odadaki müşteriyi bir sonraki odaya taşıyalım. Yani 1 numaralı odadaki müşteriyi 2 numaralı odaya, 2 numaralı odadaki müşteriyi 3 numaralı odaya,… böylece devam edelim. Böylece 1 numaralı oda boşalacak ve yeni gelen müşteriye verebileceğiz. Ama bu sezgisel olarak doğru değildir. Çünkü otel zaten doluydu ve hiçbir müşteriyi çıkarmadık. Nasıl olur da dolu bir otelde boş oda yaratabiliriz?
• Thomson’un lamba paradoksu: Bir lamba düşünelim. Bu lamba ilk başta kapalı olsun. Sonra lambayı açalım ve kapatalım. Ama her seferinde öncekinden yarı süre bekleyelim. Yani ilk seferde 1 dakika bekleyip lambayı açalım, sonra yarım dakika bekleyip lambayı kapatalım, sonra çeyrek dakika bekleyip lambayı açalım,… böylece devam edelim. Bu işlemi sonsuza kadar yapabileceğimizi varsayalım. Bu durumda şu soruyu sorabiliriz: Lamba sonunda açık mı kalır yoksa kapalı mı? Cevap vermek zordur. Çünkü lamba sürekli açılıp kapanmaktadır ve hiçbir zaman sabit kalmamaktadır. Ama sonsuz işlem bittikten sonra lambanın bir durumu olmalıdır. Bu durum nasıl belirlenir?
• Torricelli’nin dikdörtgen paradoksu: Bir dikdörtgen düşünelim. Bu dikdörtgenin uzun kenarı 2 katı kadar olsun. Bu dikdörtgeni yatay olarak ikiye bölelim. Sonra üstte kalan dikdörtgeni yine yatay olarak ikiye bölelim. Bu bölmeyi sonsuza kadar devam ettirelim. Bu durumda şu soruyu sorabiliriz: Böldüğümüz dikdörtgenlerin toplam alanı ne olur? Cevap vermek zordur. Çünkü dikdörtgenlerin sayısı sonsuzdur ve her birinin alanı sıfırdan farklıdır. Ama baştaki dikdörtgenin alanı bellidir ve sınırlıdır. Nasıl olur da sınırlı bir alan sonsuz sayıda parçaya bölünebilir?

Bu paradokslar bize sonsuzluğun mantığımızla çatışan bir kavram olduğunu gösterir. Sonsuzluk, bizim sonlu varlıklarımızın kavrayabileceği bir şey değildir. Ama bu sonsuzluğun var olmadığı anlamına gelmez. Sadece sonsuzluğu anlamak için farklı bir bakış açısına ihtiyacımız olduğunu söyler.

Sonsuzluğu Nasıl Anlayabiliriz?

Sonsuzluğu anlamak için farklı bir bakış açısına ihtiyacımız olduğunu söyledik. Peki bu bakış açısı nasıl olmalıdır? Bu soruya cevap vermek için Amazon’da yaşayan Pirahã ve Mundurukú adlı iki kabileye bakabiliriz. Bu kabilelerin sayma sistemleri bizimkinden çok farklıdır. Pirahã kabilesi sadece üç rakam kullanır: bir, iki, çok. Mundurukú kabilesi ise beş rakam kullanır: bir, iki, üç, beş, çok. Bu kabileler sonsuzluk kavramını nasıl algılarlar?

Bu kabilelerin sayma sistemleri bize sonsuzluğun göreceli olduğunu gösterir. Bizim için çok olan bir sayı onlar için belki de çok değildir. Bizim için çok olan bir sayının sonu vardır ama onlar için belki de yoktur. Bizim için çok olan bir sayının sonunu bulmaya çalışırken onlar belki de bunun anlamsız olduğunu düşünürler.

Bu bize şunu öğretir: Sonsuzluk, bizim sonlu varlıklarımızın yarattığı bir soyutlamadır. Sonsuzluk, bizim sınırlarımızın ötesinde olan her şeydir. Sonsuzluk, bizim ölçemeyeceğimiz veya sayamayacağımız her şeydir. Sonsuzluk, bizim algılayamadığımız veya anlayamadığımız her şeydir.

Sonsuzluğu anlamak için sonluluğumuzu kabul etmeliyiz. Sonluluğumuzu kabul ettiğimizde sonsuzluğun bize sunduğu güzellikleri ve gizemleri de görebiliriz. Sonsuzluk, bize hayal gücümüzü zorlayan ve merak duygumuzu uyandıran bir kavramdır.

Bu yazıda, sonsuzluğun ne olduğunu ve nasıl anlayabileceğimizi inceledik. Matematikte, felsefede ve dinde sonsuzlukla ilgili bazı kavramlar ve paradokslar gördük. Ayrıca Amazon’da yaşayan iki kabilenin sayma sistemlerini örnek alarak sonsuzluğun göreceli olduğunu fark ettik.