UZAYI ŞEKİLLENDİRME SANATI:

Lineer cebir, dışarıdan bakıldığında matrisler, determinantlar, eigenvektörler gibi birbirinden kopuk gibi görünen kavramlarla dolu bir ders gibidir ama hepsini tek bir cümlede birleştirebiliriz:

Lineer cebir, uzayı nasıl dönüştürdüğümüzü anlamanın matematiksel dilidir.Gelin, bu cümlenin içini beraber dolduralım.

1. Uzay Nasıl Bir Şeydir?

Ortaokuldan beri uzayı, üzerinde noktalar olan bir koordinat sistemi gibi düşünürüz ama sezgisel olarak uzay, çok daha basittir:

Uzay, “nesnelerin birbirine göre konumu” bilgisinin toplamıdır.

Bir noktayı (2,3) diye yazmak, aslında “bu nokta sağa 2, yukarı 3 kadar ötede" demektir.

Yani uzayı anlamak =Konumları değiştirmek, kıyaslamak, taşımak demektir.İşte vektörler burada devreye girer.

2. Vektör: Uzay Üzerine Etki Eden Küçük Bir Hareket

Vektör denince ok işaretleri gelir ama sezgisel tanım:

Vektör, uzayı belirli bir yöne doğru iten küçük bir harekettir.

Bir noktaya bir vektör eklemek, o noktayı hareket ettirmektir.
Uzaya vektör eklemek =Uzayın tüm noktalarına aynı hareketi uygulamak.

Vektörler aslında uzayın “yeniden konumlanma” komutlarıdır.

3. Matris: Bu Hareketleri Bir Arada Yapan Makine

İşte lineer cebirin kalbi burada atar. Pek çok insanın derslerde gördüğünde korktuğu, karmaşık işlem gerektirdiğini düşündüğü bu makine, çok bilinmeyenli denklemleri de çözmeyi sağladığından, fizikte, devre analizi gibi elektrik derslerinde bile karşımıza çıkabilir.

Bir matrisin sezgisel karşılığı:

Bir matris, uzaydaki her vektörü belirli bir kurala göre dönüştüren makinedir.

Bir noktayı içeri atarsın, matris onu çeker, döndürür, eğip büker ve yeni bir nokta verir.

Tüm anlamı şurada gizlidir:

• Bir matrise tek bir vektör vererek anlamazsın.
• Bir matrise tüm uzayı verirsen, onun kim olduğunu anlarsın.

Matris, uzayı “yeniden yorumlayan” bir fonksiyondur.

4. Lineerlik: Uzayı Bozmayan Dönüşümler

Lineer cebirde yalnızca lineer dönüşümler incelememizin sebebi şudur:

Lineer dönüşümler uzayı kırmaz, yırtmaz, bükmez, her şeyi düzgün bir şekilde yeniden düzenler.

Bir kareyi paralelkenara dönüştürür ama buruşturmaz.

Yani matrisler, uzayın düzenini bozmadan yeniden şekillendirir.

Bu sayede:

• Oranlar korunur
• Doğrular doğrusal kalır
• Orijin sabit kalır

Bu özellik, lineer cebiri inanılmaz kullanışlı yapar, az önce de örnek verdiğim gibi lisans hayatımda ilk sınıfta öğrenip 4 sene boyunca bir çok derste kullanmıştım.

5. Determinant: Uzay Ne Kadar Sıkışıyor?

Artık büyük resmi görüyoruz:

Matris uzayı yeniden düzenliyor, peki ne kadar düzenliyor?

Determinant tam olarak bunu söyler:

Determinant, dönüşümün uzayı ne kadar büyütüp küçülttüğünün ölçüsüdür.

• 2 ise → alan/katman 2 kat büyür
• 0.5 ise → yarıya iner
• 0 ise → uzay tamamen sıkışır (bir çizgiye düşer)

Determinant = 0 demek:

“Bu dönüşüm, uzayın boyutunu düşürdü; geri alma şansın yok.”

Bir kâğıdı çizgiye sıkıştırırsan, eski haline getiremezsin. Aynısı burada da geçerli.

6. Eigenvektörler: Matrisin “En Temel Yönleri”

Uzayı dönüştüren bir makinenin, bazı özel yönlere karşı farklı bir davranışı vardır.Eigenvektörler, dönüşüm uygulanırken yönü değişmeyen özel vektörlerdir.

Dönüşüm onları sadece uzatır veya kısaltır, yön aynı kalır.

Bu yüzden:

• Matrisin “karakteri” bu yönlerde ortaya çıkar.
• Uzay bu yönlerde en düzenli davranışı gösterir.
• Zor dönüşüm problemleri bu yönlerde çok kolaylaşır.

Eigenvalue ise bu ölçekleme miktarıdır. bir anlamda: Eigenvektörler, matrisin uzayı nasıl şekillendirdiğinin doğal eksenlerini temsil eder.

7. Büyük Resim: Tüm Kavramlar Aynı Hikâyenin Parçaları

Şimdi hepsini tek bir resimde toplayalım:

• Uzay: Noktaların konum ilişkisi
• Vektör: Uzaya uygulanan küçük bir hareket
• Matris: Bu hareketleri organize eden büyük bir dönüşüm
• Lineerlik: Bu dönüşümün uzayı düzgün yeniden düzenlemesi
• Determinant: Uzayın ne kadar büyüyüp küçüldüğü
• Eigenvektörler: Bu dönüşümün en temel ve değişmeyen yönleri

Yani lineer cebirde yaptığımız tek şey:

Uzayı alıyoruz, bir matrisle yeniden düzenliyoruz, ve bu düzenlemenin “nasıl bir düzen” olduğunu anlamaya çalışıyoruz.Hepsi bundan ibaret ama bu kadarı bile fizik, bilgisayar grafikleri, makine öğrenmesi ve daha yüzlerce alanın kalbini oluşturuyor.