Dot product (nokta çarpımı), iki vektör arasındaki ilişkiyi anlamak için kullanılan ve bu vektörlerle skaler bir nicelik döndüren matematiksel işlemdir. Bu işlemi anlamak için, vektörleri yönü ve büyüklüğü olan oklar gibi düşünebiliriz. Dot product, bu iki ok arasındaki açıya ve uzunluklarına bağlı olarak, bu okların hangi oranda aynı yöne işaret ettiğini bulmamızda yardımcı olur.

Gündelik hayattan bir örnekle açıklayalım: Diyelim ki bir bavulu çekiyorsunuz. Bavul tekerlekli olduğu için biraz eğik bir açıyla onu ileri doğru sürüklüyorsunuz. Çektiğiniz yön ile bavulun ilerlediği yön aynı olmayabilir; siz yukarıya doğru hafifçe çekiyor olabilirsiniz ama bavul yere paralel ilerliyordur. İşte, dot product bu iki yön arasındaki ilişkiyi belirler. Eğer siz bavulu tam olarak yere paralel çekseydiniz, yani kuvvetin yönüyle bavulun hareket yönü tam olarak aynı olsaydı, bu durumda dot product en büyük değeri alırdı. Ama yönler arasında bir açı olduğunda, dot product bu iki yön arasındaki açıyı da hesaba katarak daha küçük bir değer verir. Eğer yönler tamamen zıtsa (örneğin, siz bavulu geri çekiyorsunuz ama bavul ileri gidiyor), o zaman dot product negatif olur.

Daha bilimsel tanımlayacak olursak dot product, lineer cebir ve vektör analizinde sıklıkla kullanılan ve iki vektörün büyüklükleri ile bu vektörler arasındaki açının kosinüsünün çarpımının değerini veren bir işlemdir. Matematiksel olarak, iki vektör a ve b'nin dot product'ı şu şekilde tanımlanır:

a⋅b=∥a∥∥b∥cos⁡θ

Burada:

• ∥a∥ ve ∥b∥, sırasıyla a ve b vektörlerinin büyüklüklerini (normlarını) ifade eder,
• θ, iki vektör arasındaki açıdır,
• cos⁡θ, bu iki vektörün yönleri arasındaki ilişkiyi belirleyen kosinüs fonksiyonudur.

Geometrik Anlam: Dot product, geometrik olarak iki vektörün aynı doğrultuda nasıl hizalandığını gösterir. Eğer iki vektör birbirine paralel ve aynı yönde ise, dot product maksimum olur ve pozitif bir değer alır. Eğer vektörler dik (90 derece) ise, dot product sıfırdır, çünkü bu durumda vektörler birbirine etki etmeyen iki bileşen gibidir. Eğer vektörler zıt yönlerdeyse (180 derece), dot product negatif bir değer alır.

Dot product'ın cebirsel oalrak şu şekilde tanımlanır:

a⋅b=a1b1+a2b2+⋯+anbn

Burada, a=(a1,a2,…,an) ve b=(b1,b2,…,bn) olmak üzere, her bir bileşen çarpılır ve sonuçlar toplanır.

Fiziksel Anlam: Dot product, fiziksel anlamda iki vektör arasındaki ilişkileri ölçmede kullanılan bir metriktir. Bir kuvvetin yaptığı işi hesaplamak için dot product kullanılır. Eğer bir cismi bir kuvvetle belirli bir yönde çekiyorsak, bu kuvvetin o yöndeki etkisi dot product ile belirlenir. Yani, kuvvetin cisme ne kadar etkide bulunduğunu anlamak için kuvvet vektörü ile yer değiştirme vektörünün dot product'ı alınır. Bu hesaplama sonucunda yapılan işin miktarını verir.