Matematikte sonsuzluk, gündelik sezgilerimizi ve mantığımızı zorlayan bir kavramdır. Sonsuzluk yalnızca bir sayı veya bir fikirden ibaret değildir, aynı zamanda düşünce sistemimizi zorlayan paradokslar yaratır. Ancak bu soyut fikri kavrayabilmek için basit mantığımızı bir kenara bırakmamız gerekir. İşte bu noktada sonsuzluk kavramı ile ilgili en ünlü paradokslardan biri devreye girer: Hilbert'in Sonsuz Oteli.

Hilbert'in oteli, sonsuzluğun alışılmış kuralları nasıl altüst ettiğini gösteren etkileyici bir deneyidir. Hayal edin: Sonsuz odalı bir otel vardır ve onun her odası doludur ve otelde boş yer bulunmaz. Yani, birinci odada bir müşteri, ikinci odada başka bir müşteri ve bu şekilde devam edene kadar gidiyor. Şimdi, yeni bir müşteriye gelindiğinde ne olur? Otel dolu gibi görünse de, yeni gelen müşteriyi reddetmek zorunda değilsiniz. Yapmamız gereken şey, her müşteriyi bir sonraki odaya taşımaktır: 1. odadaki müşteriyi 2. odaya, 2. odadaki müşteriyi 3. odaya ve döngü böyle devam eder. Bu şekilde 1. oda boşalır ve yeni misafiri bu boşalan yeni odaya yerleştirebilirsiniz. Sezgisel olarak bu görünmeyebilir. “Odaların hepsi doluyken nasıl yeni bir müşteri kabul edilebilir?” denilebilir ama işte sonsuzluk böyle çalışır! Sonsuz bir otelde, her zaman yer vardır çünkü sonsuzluk sınır tanımaz. Paradoks burada bitmiyor.

Diyelim ki bir otobüs dolusu, yani sonsuz sayıda yeni müşteri geldi. Şimdi bu müşterileri nasıl yerleştireceğiz? İlk müşteriyi 2 numaralı odaya, ikinci müşteriyi 4 numaralı odaya, üçüncüyü 6 numaralı odaya, yani eski müşteri olan herkesin odasını çift numaralara kaydırırız. Bu durumda tüm tek numaralı odalar boşalır ve sonsuz sayıda yeni müşteriyi kabul edebiliriz.

Hilbert'in oteli, sonsuzlukla ilgili paradoksları anlamamız için güçlü bir yardımcıdır. Matematikte sonsuz kümelerin doğasını anlamak için de model olarak kullanılır. Örneğin, doğal sayılar kümesi sonsuzdur, ancak reel sayılar kümesi ( örneğin, 1.1, 1.01, 1.001…) doğal sayılardan daha büyük bir sonsuzdur. Bu da sonsuzlukların kendi içinde farklı “büyüklükleri” veya "küçüklükleri "olabileceğini gösterir.